Урок 32 — как найти отношение площадей треугольников

Ход урока

Как найти отношение площадей треугольников

Поурочное планирование по геометрии для 8 класса. Ориентировано на работу с УМК Атанасян и др. Геометрия 8 класс. Глава VII. ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ. Урок 32. Отношение площадей подобных треугольников. Вернуться к Списку уроков Тематического планирования.

Урок 32. Отношение площадей
подобных треугольников

Основные дидактические цели урока: закрепить понятия пропорциональных отрезков и подобных треугольников; совершенствовать навыки решения задач на применение свойства биссектрисы треугольника и определения подобных треугольников; рассмотреть теорему об отношении площадей подобных треугольников и показать ее применение в процессе решения задач.

Ход урока

I. Организационный момент

(Учитель сообщает тему урока, формулирует цели урока.)

II. Актуализация знаний учащихся. Мотивация к учебной деятельности

1. Теоретический опрос.

(Один ученик оформляет доказательство теоремы на доске.)
1) Ответить на вопросы 1—3 учебника.
2) Доказать свойство биссектрисы треугольника.

2. Проверка домашнего задания.

(Учитель проверяет решение задач № 538, 542. Два ученика готовят решение на доске.)

Задача № 538

• В каком отношении биссектриса AD треугольника АВС делит сторону ВСР.
• Что можно сказать об отношении отрезков АВ и АС?
• Составьте уравнение, используя отношение отрезков АВ и АС и значение периметра треугольника АВС.

Задача № 542

• Какие треугольники называются подобными?
• Чему равно отношение сходственных сторон MN и ВС, KN и AC?
• Чему равны стороны треугольника KMN?

3. Работа по индивидуальным карточкам.

(3—6 учеников работают по карточкам.)

I уровень сложности

1. Треугольники KPF и ЕМТ подобны, причем КР : ME = PF : МТ = КЕ : ЕТ, ∠F = 30°, ∠Е = 49°. Найдите остальные углы этих треугольников.
2. Биссектриса BD делит сторону АС треугольника АВС на отрезки AD и CD, равные соответственно 7 см и 10,5 см. Найдите периметр треугольника АВС, если известно, что АВ = 9 см.

II уровень сложности

1. ΔВВС подобен ΔАВС (рис. 7.3), AD = 16 см, DC = 9 см. ∠ABC и ∠BDA — тупые. Найдите ВС.
2. Периметр треугольника равен 70 см, две его стороны равны 24 см и 32 см. Найдите отрезки, на которые биссектриса треугольника делит его третью сторону.

III уровень сложности

1. Диагональ АС делит трапецию ABCD на два подобных треугольника АВС и ACD, ВС = 8 см, AD = 18 см. Найдите АС.
2. В равнобедренном треугольнике точка Е — середина основания АС, а точка К делит сторону ВС в отношении 2:5, считая от вершины С. Найдите отношение, в котором прямая BE делит отрезок АК.
3. Решение задач по готовым чертежам для подготовки к восприятию нового материала (работа в парах).

Ответы и указания к задачам по готовым чертежам:

(После окончания самостоятельного решения задач и самопроверки по готовым ответам выполняется самооценка.) Критерии оценивания:

• оценка «5» — правильно решены три-четыре задачи;
• оценка «4» — правильно решены две задачи;
• оценка «3» — правильно решена одна задача;
• оценка «2» — не ставится.

III. Работа по теме урока

(Учитель делит класс на группы для решения задания творческого характера. После завершения работы заслушиваются и обсуждаются варианты решений.)

Задание. Треугольники АВС и А1В1С1 подобны с коэффициентом подобия k. Найти отношение их площадей.

Вывод. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

IV. Закрепление изученного материала

1. Работа в рабочих тетрадях. Решить задачу № 54. (Учащиеся самостоятельно решают задачу, по окончании работы один ученик вслух читает задачу и ее решение. Учащиеся его слушают, а затем исправляют ошибки.)
2. Решить задачу № 545 (работа в парах). (После завершения работы заслушиваются и обсуждаются варианты решений.)

Задача № 545

Вопросы для обсуждения.

• Чему равно отношение площадей подобных треугольников, если их сходственные стороны относятся как 6 : 5?
• Верно ли составлено уравнение исходя из условий задачи?

1. Решить задачи № 547, 548 (работа в группах). (После завершения работы заслушиваются и обсуждаются варианты решений.)

V. Самостоятельная работа

I уровень сложности

II уровень сложности

III уровень сложности

VI. Рефлексия учебной деятельности

1. Какие треугольники называются подобными?
2. Сформулируйте свойство биссектрисы треугольника.
3. Что можно сказать о площадях подобных треугольников?

Домашнее задание

1. П. 60, вопросы 4 (учебник, с. 158).
2. Решить задачи № 543, 544, 546, 549.
3. Решить дополнительные задачи.

I уровень сложности: В подобных треугольниках АВС и KMN равны углы В и М, С и N, АС = 3 см, KN = 6 см, MN = 4 см, ∠AX = 30°. Найдите ВС, ∠K; отношение площадей треугольников AВС и KMN; АЕ и BE, если известно, что СЕ — биссектриса треугольника АВС, АВ = 3,5 см.

II уровень сложности: В прямоугольном треугольнике ABC ∠C = 90°, ∠B = 30°, АВ = 12 см, CD — высота. Докажите, что ΔACD подобен ΔАВС, найдите отношение их площадей и отрезки, на которые биссектриса угла А делит катет ВС.

Вы смотрели: Поурочное планирование по геометрии для 8 класса. УМК Атанасян и др. (Просвещение). Глава VII. ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ. Урок 32. Отношение площадей подобных треугольников.

Источник: http://uchitel.pro/%D1%83%D1%80%D0%BE%D0%BA-32-%D0%BE%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B0%D0%B4%D0%B5%D0%B9-%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%BE%D0%B1%D0%BD%D1%8B%D1%85-%D1%82%D1%80%D0%B5/

Подобные треугольники

Определение

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

Коэффициентом подобия называют число k , равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

Сходственные (или соответственные) стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

Признаки подобия треугольников

I признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

II признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Свойства подобных треугольников

• Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
• Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
• Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности, длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия.

Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников

1. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

2. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия –

3. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

Здесь вы найдете подборку задач по теме «Подобные треугольники» .

Источник: http://egemaximum.ru/podobnye-treugolniki/

Урок по теме «Определение подобных треугольников, отношение площадей подобных треугольников»

Разделы: Математика

Цель урока: дать определение подобных треугольников, доказать теорему об отношении подобных треугольников.

Задачи урока:

• Образовательные: учащиеся должны знать определение подобных треугольников, теорему об отношении подобных треугольников, уметь применять их при решении задач, реализовывать межпредметные связи с алгеброй и физикой.
• Воспитательные: воспитывать трудолюбие, внимательность, прилежание, воспитывать культуру поведения учащихся.
• Развивающие: развитие у учащихся внимания, развития умения рассуждать, логически мыслить, делать выводы, развития у учащихся грамотной математической речи и мышления, развивать навыки самоанализа и самостоятельности.
• Здоровьесберегающие: соблюдение санитарно-гигиенических норм, смена видов деятельности на уроке.

Оборудование: компьютер, проектор, дидактический материал: самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 8 класса А.П. Ершова, и др.

Тип урока: изучение нового материала.

Ход урока

I. Организационный момент (приветствие, проверка готовности к уроку).

II. Сообщение темы урока.

Учитель: В повседневной жизни встречаются предметы одинаковой формы, но разных размеров.

Пример: футбольный и теннисный мячи.

В геометрии фигуры одинаковой формы называют подобными: любые два круга, любые два квадрата.

Введем понятие подобных треугольников.

Определение: Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

Число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия. ΔABC

1. Устно: Подобны ли треугольники? Почему? (заготовленный чертеж на экране).

б) В одном равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 24˚, а в другом равнобедренном треугольнике угол при основании равен 78˚.

Ребята! Вспомним теорему об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу.

Теорема: Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

2. Письменная работа по заготовленным чертежам.

На экране чертеж:

а) Дано: BN : NC = 1:2,

BM = 7 см, AM = 3 см,

б) Дано: AE = 2 см,

3. Докажем теорему об отношении площадей подобных треугольников (доказывает теорему ученик на доске, помогает весь класс).

Теорема: Отношение двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

4. Актуализация знаний.

1. Площади двух подобных треугольников равны 75 см 2 и 300 см 2 . Одна из сторон второго треугольника равна 9см. Найти сходственную ей сторону первого треугольника. (Ответ: 4,5 см.)

2. Сходственные стороны подобных треугольников равны 6см и 4см, а сумма их площадей равна 78 см 2 . Найти площади этих треугольников. (Ответ: 54 см 2 и 24 см 2 .)

При наличии времени самостоятельная работа обучающего характера.

Вариант 1

У подобных треугольников сходственные стороны равны 7 см и 35 см.

Площадь первого треугольника равна 27 см 2 .

Найти площадь второго треугольника. (Ответ: 675 см 2 .)

Вариант 2

Площади подобных треугольников равны 17 см 2 и 68 см 2 . Сторона первого треугольника равна 8см. Найти сходственную сторону второго треугольника. (Ответ: 4 см.)

5. Домашнее задание: учебник геометрии 7-9 Л.С. Атанасян и др., п. 57, 58, № 545, 547.

6. Подведение итогов урока.

Источник: http://urok.1sept.ru/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/583773/

Отношение площадей подобных треугольников

Теорема об отношении площадей подобных треугольников

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия.

k – коэффициент подобия.

Отношение площадей подобных треугольников

Доказательство

Шаг 1

Рассмотрим подобные треугольники АВС и А₁В₁С₁, с коэффициентом подобия k.

Обозначим через S площадь треугольника АВС, через S₁ – площадь треугольника А₁В₁С₁.

Отношение площадей подобных треугольников. Доказательство. Шаг 1

Шаг 2

Так как треугольники подобны, то:

• их соответствующие углы равны:

следовательно, равны и синусы этих углов:

• и стороны пропорциональны:

Теорема об отношении площадей подобных треугольников доказана.

Отношение площадей подобных треугольников. Доказательство. Шаг 2

Источник: http://mathvox.ru/geometria/treugolniki/treugolniki-glava-4/teorema-ob-otnoshenii-ploschadei-podobnih-treugolnikov/

Решение задач по теме «Отношение площадей подобных треугольников»

Применение подобия для решения задач. Задачи для подготовки к ОГЭ в 9 классе

Просмотр содержимого документа
«Решение задач по теме «Отношение площадей подобных треугольников»»

ОТНОШЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПОДОБНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Свойство

Если высоты треугольников равны, то площади относятся как основания .

Свойство

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

Теорема

Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведение сторон, заключающих равные углы

Доказать:

Дайте ответы на вопросы:

1. Что называют отношением отрезков AB и CD?

2. При каком условии отрезки AB, CD и A 1 B 1 , C 1 D 1 называют пропорциональными?

3. Назовите сходственные стороны треугольников ∆MKL и ∆PZD, если

4. Используя свойство биссектрисы треугольника, найдите KN, если OC=4см, CN=3см, OK=2см.

Источник: http://multiurok.ru/files/reshenie-zadach-po-teme-otnoshenie-ploshchadei-pod.html

• Индийский сериал Как назвать эту любовь 1 сезон смотреть онлайн - как назвать эти отношения индийский сериал
• Где познакомиться с мужчиной женщине после 50 - 55 лет - как познакомиться с мужчиной для серьезных отношений в 50 лет
• Как добиться девушки, которая не хочет отношений с тобой: советы психологов - как добиться девушки которая не хочет отношений с тобой
• Как и где найти хорошего мужа после 30: советы психолога - Womanincity - как найти мужчину для серьезных отношений после 30
• Анализ стихотворения Маяковского Хорошее отношение к лошадям: структура, идея, тема произведения - как вы понимаете главную мысль стихотворения хорошее отношение к лошадям
• Сочинение на тему; Предательство - как предательство влияет на отношения сочинение
• Как Развивалось Отношение Между Народами В Истории Человечества - как развивались отношения между народами в истории человечества
• Песнь о вещем Олеге как раскрываются отношения; могучего владыки; и; мудрого старца; в их выможете сказать о каждом из них и кто кажется, русский язык - как раскрываются отношения могучего владыки и мудрого старца в их диалоге
• Как понять мужчину-Рака - мужчина рак как понять его отношение к тебе
• Как намекнуть девушке на отношения: стихи намеки вконтакте | LOVEabout - как намекнуть девушке на отношения